Autor Wilson Luques Costa

O paradoxo do zero

Alguns problemas colocados.
O princípio da contradição ou não-contradição é um princípio ‘sine qua non’
dos juízos sintéticos a priori. Kant, na Crítica da Razão Pura, define os
juízos sintéticos a priori como: ‘não os que ocorrem de modo independente
desta ou daquela experiência, mas absolutamente independente de toda a
experiência.’ Mas não pretendo, em absoluto, falar de experiência. Kant vai
além: ‘em primeiro lugar, portanto, se se encontra uma proposição pensada ao
mesmo tempo com sua necessidade, então ela é um juízo a priori.’ Para os
mais afoitos ou leigos, essa frase poderia passar despercebida. Primeiro,
porque os filósofos têm o péssimo vício de inventar e reinventar termos e
conceitos, colaborando de maneira exemplar para o surgimento das valências
polissêmicas. É o caso da necessidade. Segundo, porque a filosofia se faz e
se comporta, não raras as vezes, por uma tal obscuridade, por algo assim
eivado de uma certa nebulosidade, pertencente só mesmo aos semideuses, que
chegamos a ficar atônitos diante de certas idiossincrasias.Mas ó pequeno
homem. “Mas ó micros antropos”. Temamos a tanatos e ao destino. Bem,
necessidade é não-contradição. E o que vem a ser contradição? No livro “A
filosofia a partir de seus problemas” temos: Uma contradição se produz
quando afirmo e nego a mesma coisa, ou seja, digo:“A é não A” (ou, por
exemplo: “Chove e não chove”). O princípio da contradição é um princípio da
lógica clássica que diz: nada pode ser e não ser ao mesmo tempo e sob a
mesma relação (ou: um juízo não pode ser verdadeiro e falso). Algo é
possível quando não implica contradição. Algo é impossível quando implica
contradição. Algo é necessário quando sua negação é impossível ou implica
contradição. E encontramos ainda: “A lógica não faz outra coisa que
explicitar a legalidade da Razão; e continua: “os princípios lógicos não são
outros que os princípios da Razão pura, sendo o de contradição um dos
fundamentais”. Desenvolve-se o raciocínio de tal forma, que chegamos até a
acreditar que estamos diante de algo inabalável. Vejamos mais um pouco:
“portanto, apoiando-me exclusivamente na razão pura posso fundar o
conhecimento necessário do ponto de vista lógico-formal e, em conseqüência,
produzir um certo tipo de saber a priori.” Andares e pilastras vão se
construindo de tal modo, que nem aludimos a um possível desmoronamento: “se
a ciência físico-matemática tem êxito, isto só pode acontecer porque, de
algum modo, ela é capaz de um conhecimento necessário que não se baseia na
Razão pura”. Retornemos agora à Crítica da Razão Pura, onde Kant é
categórico ao afirmar: “ora, é fácil mostrar que no conhecimento humano
realmente há tais juízos necessários e em sentido estrito universais por
conseguinte puros a priori. Caso se queira um exemplo das ciências, basta
olhar ‘todas’as proposições matemáticas; caso se queira um do uso mais comum
do entendimento, poderá servir a proposição de que toda mudança tem que ter
uma causa...” Para nós basta a seguinte frase: “todas as proposições
matemáticas”.Sendo assim e não de outro modo, ou seja, que os juízos
sintéticos a priori são juízos necessários e universais; assim, Kant afirma
a validade da ciência e por conseguinte de seus dois mais ferrenhos
baluartes a matemática e a física. Mas como se fosse um daqueles aviões de
11 de setembro, ou como se fosse ainda uma terceira revolução copernicana;
um Copérnico mudando a rota da filosofia e da matemática; ou da filosofia e
da lógica. Ou uma e outra. Ou outra, mas não uma. Ou mais: uma, outra e uma;
eu arrosto todos aqueles que crêem em tal irrefutabilidade; ou dizendo
melhor de outra maneira: que a matemática é necessária. A não ser que
houvesse por parte daqueles que propugnam tais assertivas uma contrição
imediata. Mas Kant está morto e Königsberg vive ainda tranqüila. Portanto
sonegado o indulto. Se fosse de outra maneira e não essa, daria por acabado
e jamais explicitaria o raciocínio que agora empreenderei: Sem lhes
demonstrar tal como se deu a fórmula que se segue, afirmo que: A x B = C e
sua não-contradição se e somente se C : B = A
Para isso, no entanto, valho-me de algumas exemplificações que numa
quantidade razoável pretendem esgotar o assunto. Tomemos primeiro, então, o
exemplo da validade ou não-contradição, ou como também passo agora a
denominar como um tal tipo de paradoxo; mas fiquemos por enquanto com o que
se segue: Se tenho: A x B = C e sendo verdade C : B = A . Então poderei
aplicar os seguintes raciocínios:
Para: A = 1
B = 2 C = ?
Aplicando as fórmulas :
1 x 2 = 2
sendo verdade e não-contradição
2 : 2 = 1
Para:
A = 4
B = 5
C= ?
Aplicando as fórmulas:
4 x 5 = 20
sendo verdade e não contradição :
20 : 5 = 4
A fim de lhes evitar um certo cansaço e uma incomensurável lista de
demonstrações com tais números,- pois creio que não necessitaríamos, pois
despenderíamos o nosso sagrado tempo, bem como as páginas que aqui se
apresentam, elucubrando sobre uma infinidade de cálculos, que mais se
assemelhariam a um Puzzle, onde sempre encontramos uma saída, depois de
extenuadas e cansativas tentativas - essa sumarização. Evidente que posso
ainda se houver um outro tipo de dúvida demonstrar mais um ou dois
raciocínios, mas antes peço-lhes que pratiquem até a sua exaustão e verão
que ficarão extenuados e a não-contradição não se dará. Nesse sentido,
perguntar-se-á: mas onde erra Kant nisso tudo? Pelo que se determina e
embasado sobre esses raciocínios, Kant mantém-se mais ereto do que as duas
torres gêmeas, antes mesmo daquele dia fatídico, e repousa solerte e
tranqüilo sobre a sua Crítica da Razão Pura. E a matemática por seu turno
dorme ainda um sono tranqüilo e abrasador, mostrando e demonstrando as suas
verdades aos perscrutadores da Razão pura. Kant, efetivamente, denota uma
segurança extremada ao afirmar: “a matemática dá-nos um esplêndido exemplo
de quão longe conseguimos chegar no conhecimento a priori independentemente
da experiência.” Mas deixa, como se fosse um ato falho, ou , como se fosse
um tipo de premonição, escapar sobre a matemática: “o estímulo para ampliar
seus conhecimentos é tão grande que só pode ser detido em seu progresso por
uma clara contradição em seu caminho”. Antes de tudo, temos que ter bem
claro que quando falamos de matemática, falamos no “conjunto das ciências
que têm por objeto o número, a quantidade, a extensão e a ordem”. Poderíamos
, desse modo, considerar o zero, como um representante de uma dessas quatro
categorias? Se, ao menos, uma dessas categorias satisfaz as mínimas
condições para se operar uma construção matemática, estamos, então, em
condições, sem correr o risco da precipitação, de afirmar que há contradição
nas chamadas operações matemáticas e por conseguinte nos juízos sintéticos a
priori. Mas não nos precipitemos! Como diz Kant: “a leve pomba, enquanto no
livre vôo fende o ar do qual sente a resistência, poderia imaginar-se que
seria ainda muito melhor sucedida no espaço sem ar.” E Kant é benévolo,
fornecendo-nos esse colchão macio ou esse céu de brigadeiro da Crítica da
Razão Pura. Mas isso não nos força a sermos indulgentes com Kant. Não se
esqueçam que Kant era um homem. E por isso com suas falhas. Cournot define
assim a matemática: “sob o nome coletivo Matemática, designa-se um sistema
de conhecimentos científicos, estreitamente ligados uns aos outros, fundados
em noções que se encontram em todos os espíritos, todavia sobre verdades
rigorosas que a razão é capaz de descobrir sem o socorro da experiência, e
que, não obstante, podem sempre confirmar-se pela experiência, nos limites
de aproximação que a experiência comporta”. Seria o caso de se perguntar:
Qual seria o resultado de duas pêras somadas a duas pêras? E como se daria
isso como experiência num mundo de não-pêras? Mas retornemos a Kant outra
vez: “antes de tudo precisa-se observar que proposições matemáticas em
sentido próprio são ‘sempre’ juízos a priori e não empíricos porque trazem
consigo necessidade.” Quando Kant faz a sua crítica ostensiva à Metafísica,
não se pode negar, que a faz de modo a ter na Matemática a sua escora, o seu
esteio: “que até hoje a metafísica permaneceu numa situação tão vacilante
entre incertezas e contradições, deve atribuir-se apenas à causa de não se
ter antes deixado vir à mente esse problema e talvez mesmo a diferença entre
juízos analíticos e juízos sintéticos.’ Kant, assim, lança mão de sua
admoestação à metafísica, sustendo junto à cintura um farnel dadivoso de
axiomas matemáticos. Mas esqueceu-se que as guerras são constituídas de
inúmeras batalhas e logo no primeiro capítulo sucumbe, como um boxer
inexperiente ao levar um ‘jab’ bem colocado. Kant esqueceu-se que quando a
matemática fracassa no seu objeto, ela tende a uma certa metafísica, que só
pode falar das coisas universais, ou se querem de outro modo, pretender
falar. A matemática, nesse sentido estrito, como metafísica. Kant bem que
poderia colocar abaixo os alicerces da matemática, relegando-a a uma
metafísica menor. Todavia perdeu tal oportunidade. O que agora pretendo
encetar é uma discussão sobre a possibilidade do zero como número; do zero
como elemento, do zero como quantidade, do zero como extensão, do zero como
ordem; do zero como um arcano. Vou colocar algumas perguntas, porque não
pretendo exaurir as respostas. Quero antes perguntar. Perguntar de modo a
colocar uma certa contradição entre o princípio da identidade; entre a
matemática e a Crítica da Razão Pura de Kant; entre Kant e a lógica
clássica, enfim: aporias. Se zero não é um tipo de número natural, por que
se define como natural? Se zero não é número por que se comporta em certas
situações como número? E outra: que espécie é o zero? Que tipo peculiar de
número que responde e não responde? Que tipo de elemento esse, que é uma
pedra no meio do caminho da matemática e por conseguinte dos juízos
sintéticos a priori? Por que não poderíamos falar do zero como falamos do 1,
2, 3, 5,17,10001 etc? É evidente que já aponto para um certo tipo de
contradição na matemática. É evidente também que alguém não sairá incólume.
A filosofia já se cansou de respostas evasivas; quando há exceções, não se
pode outorgar um ‘status quo’ de irrefutabilidade. Onde então se processa a
revolução copernicana? Se a matemática não dá conta de um simples
‘conceito”zero? O que se fazer com o zero? Esta é a grande pergunta posta.
Quando se afirma e se tem afirmado com uma contumácia extraordinária que 1 x
0 = 0; ou quando ainda se afirma que 2 x 0 = 0; onde buscar os matemáticos e
os próprios leigos as suas fundamentações? Não podemos mais responder: é
porque é! Assim fez e faz a metafísica que Kant erodiu. A matemática tem de
responder e responder certo dentro dos princípios da identidade e da
contradição; não podemos mais falar de Kant e da matemática como falamos
sobre Tales de Mileto, Nietzsche, Cioran, Schopenhauer... Kant não disse que
Deus está morto. Não disse sobre a água. Não disse sobre o ápeiron. Nesse
sentido todos esses metafísicos podem falar.
Mas Kant e a matemática não. Kant colocou a matemática num ‘snooker’ de
bico. A matemática tem que provar. As bases dos juízos sintéticos a priori
esboroariam sem a matemática. Uma contradição e tudo a perder. Kant mesmo
alertou. Restam os princípios da causalidade. Mas essa é outra conversa.
DO PRINCÍPIO DA IDENTIDADE
O princípio da identidade diz por exemplo: a = a ; se concordamos com isso,
poderemos então a partir do princípio da identidade fazer algumas
considerações: Se digo: 1=1 tenho um princípio de identidade; se digo 2 = 2
tenho outro princípio de identidade; posso seguir indefinidamente; mais um
pouco: 3 = 3 ; 4 = 4; 0 = 0; 10=10...agora se digo que todo elemento
dividido pela sua própria identidade resulta 1; ou esse princípio está
correto ou incorre em erro crasso. Vamos tomar alguns exemplos particulares:
A/A = 1 B/B = 1 5/5 = 1 6/6 =1
121/121 =1; percebe-se que trabalhamos com números e o que denomino de
não-números ou elementos para facilitar o nosso raciocínio.
Intentemos agora um outro elemento ou número: vamos denominá-lo de zero. 0/0
= 1 pelo modelo, poderíamos inferir que
0/0 = 1 mas como? A matemática até hoje não trabalhou assim?
Então cabe pensar esse paradoxo proveniente do princípio da identidade.
Vamos facilitar a visualização dessa frase matemática:
0 : 0 =1.
PARADOXO DO ZERO
A x B = C
se e somente se
C : B = A
chamaremos de A o primeiro elemento da multiplicação; chamaremos de B o
segundo elemento da multiplicação; chamaremos de C o produto de A x B ou
terceiro elemento da multiplicação; o segundo elemento B se soma na condição
de A resultando C;
Exemplo:
A = 5
B = 6
C = ?
Aplicando a fórmula:
A x B = C
5 x 6 = 30
Para a não-contradição:
C : B = A
30 : 6 = 5.
Conclui-se que não há contradição.
Vamos agora para o número , elemento ou o conceito zero:
A = 1
B = 0
C = ?
Aplicando a fórmula:
1 x 0 = 0
porque B somado na condição A resulta zero e só seria verdade se
0 : 0 = 1.
No que se comprova no princípio da identidade que
0 : 0 = 1
Logo não havendo contradição e Kant respirando aliviado.
Mas para Kant sair da UTI, seria necessária uma revolução cabal na
matemática. Estamos numa aporia entre Kant e a matemática. Justamente ambos
que tinham um enlace quase que perfeito.
Salvando a matemática; Kant estaria errado?
Porque se 1 x 0 = 0 e todos concordam nesse ponto, só seria verdade se
0 : 0 = 1.
Vamos chamá-lo então de primeiro paradoxo?
E quanto ao princípio da identidade?
Salvar então a matemática?
Kant e o princípio da identidade esboroando-se?
Kant e o princípio da identidade certos e a matemática desmoronando como uma
das torres gêmeas?
Optemos por salvar Kant então?
Todo filósofo sensato deveria fazê-lo?
Kant agora com a lógica não mais com a matemática?
Então a matemática sucumbiu e
0 : 0 =1
sendo verdade e não contradição
1 x 0 = 0 ?
São possíveis juízos sintéticos a priori na ciência, notadamente na
matemática ?
À filosofia sempre couberam certos questionamentos acerca disso, isso e
aquilo. Notadamente a partir dos seus problemas. Para respondê-los...só um
filósofo poderá fazê-lo?
Mas Kant, lembra Goethe no seu estertor:
“Luz, mais luz!”
É o que os filósofos sensatos deveriam trazer.
Mas Kant agoniza no alvorecer desse século obscuro.
 

 

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